Question

16．在野外生存訓(xùn)練中，小軍的任務(wù)是要從A處走到河岸取水后然后送到B處，如圖．若A、B兩地相距3000m，MN是與AB連線平行的小河的河岸．AB到河岸的垂直距離為2000m，小軍速度大小恒為5km/h，不考慮取水停留時(shí)間，請(qǐng)為小軍設(shè)計(jì)一條最路線，在圖中做出這條最短路線（請(qǐng)保留必要的作圖痕跡）并算出小軍取水的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）利用平面鏡成像的特點(diǎn)：像與物關(guān)于平面鏡對(duì)稱，作出發(fā)光點(diǎn)A的像點(diǎn)A′，根據(jù)反射光線反向延長(zhǎng)通過像點(diǎn)，可以由像點(diǎn)和B點(diǎn)確定反射光線所在的直線，兩點(diǎn)之間，直線最短．
（2）已知AB間的距離是3000m，AB到河岸的距離（AD）是2000m，可以計(jì)算出DB間的距離，此時(shí)便可知道小軍要走的路程了，又知速度，根據(jù)v=$\frac{s}{t}$變形計(jì)算出所需時(shí)間；

解答 解：（1）作出發(fā)光點(diǎn)A關(guān)于平面鏡的對(duì)稱點(diǎn)，即為像點(diǎn)A′，連接A′、B點(diǎn)交平面鏡于點(diǎn)O，沿OB畫出反射光線，連接AO畫出入射光線，如圖所示，圖中O就是入射點(diǎn)；

①由圖可知，A′B的連線是線段，兩點(diǎn)之間，線段最短，即此時(shí)A′B之間的距離（A′O+OB）最短；
②根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)可知，此時(shí)AD=A′D，且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，
即AO=A′O；
故AO+OB=A′O+OB；
即此時(shí)O點(diǎn)是最短路線的取水點(diǎn)．
（2）由上圖可知，小軍通過的路程是AO+OB，
此時(shí)，AB=3000m，AD=2000m，AA′=AD+DA′=2000m+2000m=4000m，
根據(jù)勾股定理可知，A′B=5000m，OB=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$×5000m=2500m，
DO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×3000m=1500m，
AO=$\sqrt{（AD）^{2}+（DO）^{2}}$=$\sqrt{（2000m）^{2}+（1500m）^{2}}$=2500m，
故小軍通過的路程s=AO+OB=2500m+2500m=5000m=5km，
由v=$\frac{s}{t}$可得，
所需的時(shí)間：
t=$\frac{s}{v}$=$\frac{5km}{5km/h}$=1h；
答：小軍取水的最短時(shí)間為1h．

點(diǎn)評(píng) 本題利用平面鏡成像的特點(diǎn)，并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題（取水路線最短），綜合性較強(qiáng)，是中考考查的熱點(diǎn)問題．