Question

12．兩個(gè)密度均勻的實(shí)心長(zhǎng)方體A、B放在水平地面上，它們的規(guī)格及擺放情況如圖所示．已知ρ_A和ρ_B分別為2×10³kg/m³和2.4×10³kg/m³．求：
（1）長(zhǎng)方體A對(duì)水平地面的壓力；
（2）長(zhǎng)方體B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)；
（3）若沿水平方向從上部按相同的比例切去實(shí)心長(zhǎng)方體A、B的一部分，并將切下的部分疊放在對(duì)方剩余部分的上表面，請(qǐng)判斷此時(shí)A、B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)p_A′和p_B′的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的比例；
（4）若沿水平方向切去A、B相同的高度△h，并將切下的部分疊放在對(duì)方剩余部分的上表面，請(qǐng)判斷此時(shí)A、B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)p_A″和p_B″的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的△h；
（5）若沿豎直方向按相同的比例切去實(shí)心長(zhǎng)方體A、B右側(cè)的一部分，并將切下的部分疊放在對(duì)方剩余部分的上表面，請(qǐng)判斷此時(shí)A、B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)p_A″′和p_B″′的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的比例k．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖示數(shù)據(jù)求出物體A的體積，然后由密度公式的變形公式求出物體A的質(zhì)量，利用G=mg求出壓力．
（2）由于F=G，則利用p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg求B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)；
由重力與質(zhì)量間的關(guān)系式可以求出物體B受到的重力．
（3）水平底面上物體的壓力和自身的重力相等，先求出長(zhǎng)方體AB的底面積之比，即為受力面積之比，再根據(jù)壓強(qiáng)公式表示出剩余部分物體的壓強(qiáng)，求出當(dāng)兩者壓強(qiáng)相等時(shí)截取的比例，進(jìn)一步討論得出它們的大小關(guān)系及其對(duì)應(yīng)的比例n的取值范圍．
（4）由于A、B分別截去相同的高度△h后，△h的值不確定，對(duì)地面的壓力不同，產(chǎn)生的壓強(qiáng)也不同，因此應(yīng)先求出A、B壓強(qiáng)相同時(shí)截去相同厚度△h的數(shù)值，然后展開(kāi)討論．
（5）求出切去部分的質(zhì)量，然后應(yīng)用壓強(qiáng)公式求出壓強(qiáng)，再求出壓強(qiáng)的變化量．根據(jù)壓強(qiáng)公式及圖示物體邊長(zhǎng)判斷物體對(duì)地面的壓強(qiáng)是否相等．

解答 解：（1）A的體積V_A=0.4m×0.2m×0.1m=8×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得物體A的質(zhì)量
m_A=ρ_AV_A=2.0×10³kg/m³×8×10^-3m³=16kg；
則重力G_A=m_Ag=16kg×9.8N/kg=156N；
（2）由于物體B放在水平地面上，則對(duì)地面的壓力F_B=G_B，
則由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg可知B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)：
p_B=ρ_Bh_Bg=2.4×10³kg/m³×0.6m×10N/kg=1.44×10⁴Pa；
（3）B的重力G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg=2.4×10³kg/m³×（0.6m×0.4m×0.1m）×9.8N/kg=564.48N；
AB物體的底面積分別為：
S_A=0.1m×0.2m=0.02m²，
S_B=0.1m×0.4m=0.04m²，
S_A：S_B=0.02m²：0.04m²=1：2，
設(shè)沿水平方向從上部切去實(shí)心長(zhǎng)方體A、B的一部的相同比例為n，
則A、B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)p_A′和p_B′，若p_A′=p_B′，即$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$，
所以，$\frac{（1-n）{G}_{A}+n{G}_{B}}{{S}_{A}}$=$\frac{（1-n）{G}_{B}+{G}_{A}}{{S}_{B}}$，
即：$\frac{（1-n）×564.48N+n×156N}{0.02{m}^{2}}$=$\frac{（1-n）×156N+n×564.48N}{0.04{m}^{2}}$，
解得：n=$\frac{9}{38}$≈0.236，
當(dāng)n＜0.24時(shí)，p_Aˊ＜p_B′；
當(dāng)n=0.24時(shí)，p_Aˊ=p_Bˊ；
當(dāng)n＞0.24時(shí)，p_A′＞p_B′．
（4）設(shè)切去厚度為△h時(shí)
則p_A″=$\frac{（1-\frac{△h}{{h}_{A}}）{G}_{A}+\frac{△h}{{h}_{B}}{G}_{B}}{{S}_{A}}$；
p_B″=$\frac{（1-\frac{△h}{{h}_{B}}）{G}_{B}+\frac{△h}{{h}_{A}}{G}_{A}}{{S}_{B}}$；
所以，當(dāng)p_A″=p_B″時(shí)，$\frac{（1-\frac{△h}{{h}_{A}}）{G}_{A}+\frac{△h}{{h}_{B}}{G}_{B}}{{S}_{A}}$=$\frac{（1-\frac{△h}{{h}_{B}}）{G}_{B}+\frac{△h}{{h}_{A}}{G}_{A}}{{S}_{B}}$，
即：$\frac{（1-\frac{△h}{{0.4m}_{\\;}}）{×564.48}_{\\;N}+\frac{△h}{0.6m}×156.8N}{{0.02{m}^{2}}_{\\;}}$=$\frac{（1-\frac{△h}{{0.6m}_{\\;}}）{×156.8N}_{\\;}+\frac{△h}{0.4m}×564.48N}{{0.04{m}^{2}}_{\\;}}$，
解得：△h≈0.273m；
所以，當(dāng)△h＜0.273m，p_A″＞p_B″，
△h≈0.273m；p_A″=p_B″，
當(dāng)△h＞0.273m，p_A″＜p_B″；
（5）由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg可知：
物體A、B原來(lái)對(duì)水平地面的壓強(qiáng)分別為：
p_A=ρ_Ah_Ag=2.0×10³kg/m³×0.4m×10N/kg=8×10³Pa；
p_B=ρ_Bh_Bg=2.4×10³kg/m³×0.6m×10N/kg=1.44×10⁴Pa；
沿豎直方向分別將A、B切去相同的比例為k，由于A、B剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)不變，
將切去部分疊放在對(duì)方剩余部分的上表面，
則切去A的部分放在B上，B的壓強(qiáng)為：
p_B″′=p_B+$\frac{{kG}_{A}}{{（1-k）S}_{B}}$，
切去B的部分放在A上，A的壓強(qiáng)為：
p_A″′=p_B+$\frac{{kG}_{B}}{{（1-k）S}_{A}}$；
若p_A″′=p_B″′，即：p_A+$\frac{{kG}_{B}}{{（1-k）S}_{A}}$=p_B+$\frac{{kG}_{A}}{{（1-k）S}_{B}}$；
所以，8×10³Pa+$\frac{{k×564.48N}_{\\;}}{{（1-k）×0.02{m}^{2}}_{\\;}}$=1.44×10⁴Pa+$\frac{{k×156.8N}_{\\;}}{{（1-k）×0.04{m}^{2}}_{\\;}}$，
解得：k≈0.193；所以，
當(dāng)k＜0.193時(shí)，p_A″′＜p_B″′；
當(dāng)k=0.193時(shí)，p_A″′=p_B″′；
當(dāng)k＞0.193時(shí)，p_A″′＞p_B″′．
答：（1）長(zhǎng)方體A對(duì)水平地面的壓力為80N；
（2）長(zhǎng)方體B對(duì)水平地面的壓強(qiáng)為1.44×10⁴Pa；
（3）當(dāng)n＜0.72時(shí)，p_Aˊ＜p_Bˊ；
當(dāng)n=0.72時(shí)，p_Aˊ=p_Bˊ；
當(dāng)n＞0.72時(shí)，p_Aˊ＞p_Bˊ；
（4）當(dāng)△h＜0.273m，p_A″＞p_B″，
△h≈0.273m；p_A″=p_B″，
當(dāng)△h＞0.273m，p_A″＜p_B″；
（5）當(dāng)k＜0.193時(shí)，p_A″′＜p_B″′；
當(dāng)k=0.193時(shí)，p_A″′=p_B″′；
當(dāng)k＞0.193時(shí)，p_A″′＞p_B″′．4

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求物體質(zhì)量．物體重力、物體對(duì)地面的壓強(qiáng)等問(wèn)題，熟練應(yīng)用密度公式及其變形公式、壓強(qiáng)公式，A、B剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)p_A′和p_B′的大小關(guān)系，在解題時(shí)要記住相關(guān)公式，靈活運(yùn)用密度公式解決比值問(wèn)題，最后對(duì)壓強(qiáng)p_A′和p_B′的大小關(guān)系展開(kāi)討論．