Question

6．如圖甲所示，某橋梁工程部門在一次工程作業(yè)中，利用汽車和一個定滑輪將重為G=7.8×10⁴N，高為h₀=1m，從水深為h₁=5m的河底豎直打撈上來．汽車速度為υ=0.5m/s，且保持恒定．水的密度為ρ₀=1.0×10³kg/m³，鐵的密度為ρ₁=7.8×10³kg/m³．不計滑輪的摩擦和繩重，不考慮水的阻力和物體排開水的體積對水面高度的影響．請完成下列有關(guān)分析和計算．

（1）鐵塊上升過程中所受浮力的最大值；
（2）推導(dǎo)出自鐵塊上表面與水面相平升至整體剛露出水面的過程中，繩子的拉力隨時間變化的關(guān)系式（從鐵塊上表面與水面相平時開始計時；所有單位默認為國際主單位，本空格結(jié)果可以不帶單位）
（3）在圖乙中，畫出鐵塊自河底升至滑輪處的過程中，繩子拉力的功率P隨鐵塊上升高度h變化關(guān)系的圖象．

Answer 1

分析 （1）知道鐵塊的重和鐵的密度，利用密度公式和重力公式求鐵塊的體積；當(dāng)鐵塊浸沒水中時（排開水的體積等于鐵塊的體積），受到水的浮力最大，利用阿基米德原理求鐵塊上升過程中所受浮力的最大值；
（2）從鐵塊上表面與水面相平時開始計時，在時間為t時，鐵塊上升的高度（露出的高度）△h=vt，浸入的高度h=h₀-△h，可求排開水的體積，利用F=G-F_浮列出表達式；
（3）利用F=G-F_浮求出鐵塊浸沒在水中、露出水面到全露出、全露出水面后的拉力大小，又知道速度大小，利用P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv求三過程的拉力功率，再作圖．

解答 解：（1）由G_鐵=ρ_鐵V_鐵g可知鐵塊的體積：
V=$\frac{G}{{ρ}_{1}g}$=$\frac{7.8×1{0}^{4}N}{7.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=1m³，
根據(jù)F_浮=ρ₀V_排g可知當(dāng)鐵塊浸沒水中時，排開水的體積最大為V_排=V=1m³，
則受到水的浮力最大為：
F_浮=ρ₀V_排g=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m³=1×10⁴N；
（2）從鐵塊上表面與水面相平時開始計時，在時間為t時，
鐵塊上升的高度（露出的高度）：
△h=vt，
排開水的體積：
V_排′=$\frac{{h}_{0}-△h}{{h}_{0}}$×V=$\frac{{h}_{0}-△h}{{h}_{0}}$×$\frac{G}{{ρ}_{1}g}$=×$\frac{{G}_{鐵}}{{ρ}_{鐵}g}$，
此時受到水的浮力：
F_浮′=ρ₀V_排′g=ρ₀$\frac{{h}_{0}-△h}{{h}_{0}}$×$\frac{G}{{ρ}_{1}g}$×g=$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$×$\frac{{h}_{0}-vt}{{h}_{0}}$；
繩子的拉力：
F′=G-F_浮′=G-$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$×$\frac{{h}_{0}-vt}{{h}_{0}}$=G-$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}g}$+$\frac{{ρ}_{0}Gv}{{ρ}_{1}{h}_{0}}$t；
（3）鐵塊浸沒在水中，拉力：F₁=G-F_浮═7.8×10⁴N-1×10⁴N=6.8×10⁴N，
拉力功率：
P₁=F₁v=6.8×10⁴N×0.5m/s=3.4×10⁴W，
鐵塊上表面剛剛到達水面時h′=h-h₀=5m-1m=4m；
全露出水面后的拉力大�。篎₃=G，
拉力功率：
P₃=F₃v=7.8×10⁴N×0.5m/s=3.9×10⁴W，
繩子拉力的功率P隨鐵塊上升高度h變化關(guān)系的圖象如圖所示：
．
答：（1）鐵塊上升過程中所受浮力的最大值為1×10⁴N，；
（2）繩子的拉力隨時間變化的關(guān)系式為F′=G-$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}g}$+$\frac{{ρ}_{0}Gv}{{ρ}_{1}{h}_{0}}$t；
（3）繩子拉力的功率P隨鐵塊上升高度h變化關(guān)系的圖象如圖所示．

點評 本題利用符號表示物理量，推導(dǎo)公式時要細心，用好下標(biāo)；做好三種情況（鐵塊浸沒在水中、露出水面到全露出、全露出水面后）下的受力分析是本題的關(guān)鍵．