Question

4．一個(gè)薄壁圓柱形容器放在水平桌面上，如圖1所示，容器中立放著一個(gè)均勻?qū)嵭膱A柱體A，現(xiàn)慢慢向容器中加水（已知水的密度為ρ_水），加入的水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)p與所加水的質(zhì)量m的關(guān)系圖象如圖3所示，容器足夠高，在整個(gè)過(guò)程中無(wú)水溢出，A的底面始終與容器中的水面平行，當(dāng)加入水的質(zhì)量為m₁時(shí)，圓柱體A露出水面的高度為h₀，如圖2所示．求：
（1）圓柱體的高度；
（2）圓柱體的密度；
（3）薄壁圓柱形容器的底面積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)加入水的質(zhì)量為m₁時(shí)，圓柱體A露出水面的高度為h₀，由圖讀出此時(shí)水的壓強(qiáng)，利用p=ρgh求出水的深度，則可求出圓柱體的高度；
（2）根據(jù)圖象可知，加入水的質(zhì)量為m₁后，水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)增大得更緩慢一些，說(shuō)明加入水的質(zhì)量為m₁時(shí)圓柱體剛好處于漂浮狀態(tài)，利用漂浮條件和阿基米德原理列出等式可求出圓柱體的密度；
（3）由圖象可知，加入水的質(zhì)量為m₁與m₂時(shí)對(duì)應(yīng)水的壓強(qiáng)分別為p₁、p₂，根據(jù)該過(guò)程中壓強(qiáng)的變化量、所加水的質(zhì)量變化量，利用△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{△{G}_{水}}{S}$求出容器的底面積．

解答 解：（1）由圖3可知，當(dāng)加入水的質(zhì)量為m₁時(shí)，水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)為p₁，
由p=ρgh可得，此時(shí)水的深度：h₁=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$------------①
由題知，此時(shí)圓柱體A露出水面的高度為h₀，
則圓柱體的高度：h_A=h₁+h₀=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$+h₀------------②
（2）根據(jù)圖3可知，加入水的質(zhì)量大于m₁時(shí)，水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)增大得更緩慢一些，說(shuō)明加入水的質(zhì)量為m₁時(shí)圓柱體剛好處于漂浮狀態(tài)，此后繼續(xù)加水，圓柱體緩慢上升；
圓柱體剛好漂浮時(shí)，由漂浮條件可得：F_浮=G_A，
結(jié)合阿基米德原理可得：ρ_水gV_排=ρ_AV_Ag，
則ρ_水gS_Ah₁=ρ_AS_Ah_Ag，
所以ρ_A=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{A}}$ρ_水------------③
將①②代入③可得：
ρ_A=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{A}}$ρ_水=$\frac{\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}}{\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}+{h}_{0}}$•ρ_水=$\frac{{p}_{1}}{{p}_{1}+{ρ}_{水}g{h}_{0}}$•ρ_水；
（3）由圖3可知，加入水的質(zhì)量為m₁與m₂時(shí)對(duì)應(yīng)水的壓強(qiáng)分別為p₁、p₂，
則該過(guò)程中水的質(zhì)量變化量為△m=m₂-m₁，水的壓強(qiáng)變化量為△p=p₂-p₁，
因圓柱體在該過(guò)程中處于漂浮狀態(tài)，由壓強(qiáng)定義式可得△p=$\frac{△F}{S}$，
所以，圓柱形容器的底面積：
S=$\frac{△F}{△p}$=$\frac{△{G}_{水}}{△p}$=$\frac{△mg}{△p}$=$\frac{（{m}_{2}-{m}_{1}）g}{{p}_{2}-{p}_{1}}$．
答：（1）圓柱體的高度為$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$+h₀；
（2）圓柱體的密度為$\frac{{p}_{1}}{{p}_{1}+{ρ}_{水}g{h}_{0}}$•ρ_水；
（3）薄壁圓柱形容器的底面積為$\frac{（{m}_{2}-{m}_{1}）g}{{p}_{2}-{p}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了液體壓強(qiáng)公式、阿基米德原理、密度公式、壓強(qiáng)定義式和漂浮條件的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)圖象判斷得出水的質(zhì)量為m₁時(shí)圓柱體剛好處于漂浮狀態(tài)，難點(diǎn)是根據(jù)水的壓強(qiáng)增加量和加水的質(zhì)量變化量求出容器的底面積．