設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．
分析：（Ⅰ）令n=1代入a13+a23+a33+…+an3=Sn2，可得a1的值，然后推出Sn-12的表達(dá)式，與Sn2相減可得an2=2Sn-an，從而求證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an2=2Sn-an利用遞推公式，得an-12的表達(dá)式，從而可得數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅲ）第一步要求出bn+1-bn的表達(dá)式，然后再進(jìn)行分類討論，n為奇偶的情況確定λ的范圍；
解答：解：（Ⅰ）由已知得，當(dāng)n=1時(shí)，a
13=S
12=a
12，
又∵a
n＞0，∴a
1=1
當(dāng)n≥2時(shí)，a
13+a
23++a
n3=S
n2①
a
13+a
23++a
n-13=S
n-12②
由①-②得，a
n3=S
n2-S
n-12=（S
n-S
n-1）（S
n+S
n-1）=a
n（S
n+S
n-1）
∴a
n2=S
n+S
n-1=2S
n-a
n（n≥2）
顯然當(dāng)n=1時(shí)，a
1=1適合上式．
故a
n2=2S
n-a
n（n∈N
*）
（Ⅱ）由（I）得，a
n2=2S
n-a
n③
a
n-12=2S
n-1-a
n-1（n≥2）④
由③-④得，a
n2-a
n-12=2S
n-2S
n-1-a
n+a
n-1=a
n+a
n-1∵a
n+a
n-1＞0∴a
n-a
n-1=1（n≥2）
故數(shù)列a
n是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴a
n=n（n∈N
*）
（III）∵a
n=n（n∈N
*），∴b
n=3
n+（-1）
n-1λ•2
n∴b
n+1-b
n=3
n+1-3
n+（-1）
nλ•2
n+1-（-1）
n-1λ•2
n=2×3
n-3λ•（-1）
n-1•2
n要使b
n-1＞b
n恒成立，只須（-1）
n-1 λ＜
()n-1（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜
()n-1恒成立，
又
()n-1的最小值為1，∴λ＜1
（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即λ＞
()n-1恒成立，
又-
()n-1的最大值為-
，
∴λ＞-
，∴由（1）（2）得-
＜λ＜1，
又λ=0且為整數(shù)，∴λ=-1對(duì)所有n∈N
+，都有b
n+1＞b
n成立．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推公式的應(yīng)用，難度比較大，后面第三問(wèn)還需要分類討論n的奇偶性，此題綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要認(rèn)真學(xué)會(huì)獨(dú)立思考．
