Question

【題目】圓錐透鏡如圖所示，，為錐面，為底面.通過錐頂垂直于底面的直線為光軸.平行光垂直入射于底面，現(xiàn)在把一垂直于光軸的平面屏從透鏡頂點(diǎn)向右方移動(dòng)，不計(jì)光的干涉與衍射.

（1）用示意圖畫出在屏上看到的圖像，當(dāng)屏遠(yuǎn)離錐頂時(shí)圖像怎樣變化？

（2）設(shè)圓錐底面半徑為，錐面母線與底面的夾角為，透鏡材料的折射率為，令屏離錐頂的距離為，求出為描述圖像變化需給出的屏的幾個(gè)特殊位置.

Answer 1

【答案】（1）. （2）在第1問解答中：①②③④所述的變化過程對(duì)應(yīng)于。⑤⑥所述的圖像變化過程對(duì)應(yīng)于。⑦⑧所述的圖像變化過程對(duì)應(yīng)于。

【解析】

（1）入射光線進(jìn)入透鏡底面時(shí)，方向不變，只要在鏡面上發(fā)生折射，如圖所示.

由圖可見，過錐面的折射角滿足折射定律，有.

而光線的偏向角，即折射光線與軸的夾角為.

在下圖中畫出在圖面上的入射光線經(jīng)透鏡后的折射光束的范圍.所有平行入射光線過錐面處和處的折射光線分別相互平行，構(gòu)成兩個(gè)平面光束，交角為.把圖繞光軸旋轉(zhuǎn)180°.就得到經(jīng)過透鏡后的全部出射光線的空間分布.

下面分析在屏上看到的圖像及屏向遠(yuǎn)處移動(dòng)時(shí)圖像的變化.

①當(dāng)屏在處時(shí)，照到屏，上的光束不重疊，屏上是一個(gè)明亮程度均勻的圓盤，半徑略小于.

②屏在、之間時(shí)，照到屏上的光束有部分重疊，在光束重疊處屏上亮度較不重疊處大，特別是在屏與光軸的交點(diǎn)，即屏上圖像中央處，會(huì)聚了透鏡底面上一個(gè)極細(xì)的圓環(huán)上的全部入射光的折射光，因此這一點(diǎn)最亮.在這點(diǎn)周圍是一個(gè)以這點(diǎn)為中心的弱光圓盤，再外面是更弱的光圓環(huán)，如圖（a）.

③在屏從到遠(yuǎn)移過程中，屏上圖像中央的亮點(diǎn)越遠(yuǎn)越亮（這是因?yàn)闀?huì)聚在這里的入射光細(xì)圓環(huán)半徑增大，面積增大）；外圍光圓盤越遠(yuǎn)越大，再外的弱光圓環(huán)則外徑減小，寬度減小，直到屏在點(diǎn)時(shí)弱光環(huán)消失.

④屏在點(diǎn)時(shí)，在中央亮點(diǎn)之外有一亮度均勻的光圓盤，如圖（b）.

丁

⑤屏繼續(xù)遠(yuǎn)移時(shí)，圖像又一般地如圖（a）形狀，只是屏越遠(yuǎn)中央亮點(diǎn)越亮，亮點(diǎn)周圍光圓盤越小，再外弱光環(huán)越寬、越大.

⑥當(dāng)屏移到點(diǎn)時(shí)，圖像中亮點(diǎn)達(dá)到最大亮度.外圍是一個(gè)由弱光圓環(huán)擴(kuò)大而成的光圓盤，如圖（c）.

⑦屏移過點(diǎn)后到達(dá)光束縛不重疊的區(qū)域，這時(shí)屏上圖像為中央一個(gè)暗圓盤，外圍一個(gè)弱光圓環(huán)，不再有中央亮點(diǎn)，如圖（d）.

⑧屏繼續(xù)遠(yuǎn)移，圖像形狀仍如圖（d），只是越遠(yuǎn)暗盤半徑越大，外圍弱光環(huán)也擴(kuò)大，但環(huán)的寬度不變.

（2）在較小時(shí)，也小，有，，故.略去透鏡厚度，則，處距的距離分別為，.

因此在第（1）問解答中：①②③④所述的變化過程對(duì)應(yīng)于；⑤⑥所述的圖像變化過程對(duì)應(yīng)于；⑦⑧所述的圖像變化過程對(duì)應(yīng)于.

本題是光的折射及視場(chǎng)問題的基本分析題，只是給定的透鏡是圓錐體，對(duì)其形成的光照亮區(qū)的描述應(yīng)考慮到空間屬性，從而提高了一定的難度.但本題對(duì)光的疊加區(qū)域的分析為光的干涉區(qū)域的分析做了鋪墊.