Question

【題目】有一放在空氣中的玻璃棒，折射率，中心軸線長，一端是半徑為的凸球面

（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠鏡（使主光軸上無限遠處物成像于主光軸上無限遠處的望遠系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？

（2）對于這個玻璃棒，由無限遠物點射來的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度時，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望遠系統(tǒng)的視角放大率）

Answer 1

【答案】（1）右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸面球面�。�2）

【解析】

首先我們知道，對于一個望遠系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠處物點發(fā)出的入射光線為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點也在主光軸上無限遠處，然后我們再運用正弦定理、折射定律及小角度近似計算，即可得出最后結(jié)果.

（1）對于一個望遠系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠處的物點發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點也在主光軸上無限遠處，如圖所示，圖中為左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

①

即.②

光線射至另一端面時，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心一定在端面頂點的左方，等于球面的半徑

仿照上面對左端球面上折射的關(guān)系可得

.�、�

又有�、�

由②③④式并代入數(shù)值可得.⑤

即右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸球面.

（2）設(shè)從無限遠處物點射入的平行光線用、表示，令過，過，如圖所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點，即為左端球面對此無限遠物點成的像點�，F(xiàn)在求點的位置.在中，

.�、�

又，⑦

已知、均為小角度，則有.⑧

與②式比較可知，，即位于過垂直于主光軸的平面上.上面已知，玻璃棒為天文望遠系統(tǒng)，則凡是過點的傍軸光線從棒的右端面射出時都將是相互平行的光線.容易看出，從射向的光線將沿原方向射出，這也就是過點的任意光線（包括光線、）從玻璃棒射出的平行光線的方向.此方向與主光軸的夾角即為.

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由②③式可得，則.

放大鏡、望遠鏡等光學(xué)儀器的名稱都是根據(jù)儀器的功能進行命名的，并不一定有固定的結(jié)構(gòu).如望遠鏡的基本功能就是將遠處的物體相對觀察者的視角進行放大，以達到看得更清晰的目的.本題所給出的光學(xué)儀器便是一個簡單的望遠鏡，但從結(jié)構(gòu)上講，它就是一基本的雙球面的折射成像系統(tǒng)，從功能來講，它就是將遠處的物體對觀察者的視角進行了放大.對于各類光學(xué)儀器，只要清楚了它們的功能，就能循著這一功能尋找特殊光線，如本題中就是對來自無窮遠的光線進行研究，進而求解問題.