Question

【題目】根據(jù)氣體分子動(dòng)理論，容器內(nèi)的氣體分子不斷地往各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，也不斷地碰撞器壁，因而產(chǎn)生壓力。設(shè)容器內(nèi)單位體積所含的氣體分子數(shù)目為n，氣體分子的平均速率為，則在器壁上每單位面積每單位時(shí)間內(nèi)，氣體分子碰撞器壁的總數(shù)等于。當(dāng)氣體的絕對(duì)溫度為Τ時(shí)，式中m為氣體分子的質(zhì)量，為波茲曼常數(shù)。一摩爾空氣的質(zhì)量為28.8g。

(1)如圖所示為保溫瓶的結(jié)構(gòu)。瓶壁為一真空夾層，在室溫時(shí)被抽至壓力的真空，作為絕熱之用。設(shè)瓶壁的表面積為，瓶壁的熱發(fā)射率，室溫，現(xiàn)將1.0L，90℃的熱水倒入瓶?jī)?nèi)，若經(jīng)由上蓋散失的熱量可以不計(jì)，估算瓶?jī)?nèi)水的熱量散失率。

提示：保溫瓶夾層的外壁為室溫，內(nèi)壁則和熱水的溫度相同，夾層內(nèi)部的殘留氣體分子會(huì)和內(nèi)外壁碰撞，因而移轉(zhuǎn)熱量，故這一部分的氣體又稱為熱交換氣體。

(2)估算熱水從90℃冷卻至70℃需要的時(shí)。

提示：可能用到的積分公式。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)瓶?jī)?nèi)水的熱量散失主要有兩個(gè)來源：一是瓶壁的熱輻射；二是真空夾層內(nèi)殘留空氣的熱交換。

分別估算如下：①瓶壁的熱輻射

從較熱的內(nèi)壁傳到較冷的外壁的熱輻射功率為，

式中T為瓶?jī)?nèi)的水溫，為室溫。

代入、、、和，計(jì)算得

。

②真空夾層內(nèi)殘留空氣的熱交換

夾層內(nèi)的氣體分子借由碰撞器壁而交換熱量。一個(gè)氣體分子先碰撞較熱的內(nèi)壁取得熱量后，再碰撞較冷的外壁而損失熱量，其凈散失的熱量為

，

式中為定容比熱。對(duì)空氣而言，。

單位時(shí)間內(nèi)碰撞器壁面積為Α的氣體分子數(shù)為，

故熱量的散失功率為，

式中，

。

代入已知的數(shù)據(jù)，計(jì)算得。

瓶?jī)?nèi)水的熱量散失率為

。

(2)設(shè)瓶?jī)?nèi)水的質(zhì)量為M，水的比熱為c，則在dt時(shí)間內(nèi)，瓶?jī)?nèi)水所散失的熱功率為，導(dǎo)致水溫下降dT。由能量守恒定律可得

，

。

式中可近似如下：

。

由于，上式中的括號(hào)項(xiàng)可應(yīng)用二項(xiàng)式展開，僅取的一次方項(xiàng)，即

。

于是有

。

積分后整理得。

代入數(shù)據(jù)得。

保溫瓶中的熱水從90℃冷卻至70℃,約需6小時(shí)15分鐘。