Question

【題目】一個(gè)原長(zhǎng)為L、彈性系數(shù)為k的輕軟彈簧一端懸掛在轉(zhuǎn)軸上，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的球體．彈簧自水平、自然伸長(zhǎng)狀態(tài)釋放，如圖甲所示．當(dāng)彈簧達(dá)到豎直位置時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是多少？（軟彈簧意味著，因此彈簧內(nèi)部的張力始終直接正比于其伸長(zhǎng)量）

Answer 1

【答案】

【解析】

由于彈簧很軟，初始時(shí)球體實(shí)際上做自由落體運(yùn)動(dòng)。彈簧的長(zhǎng)度很快變?yōu)樵�長(zhǎng)度的數(shù)倍（原長(zhǎng)度在后續(xù)運(yùn)動(dòng)中可以忽略不計(jì)）．在這樣的近似下，球體在水平和豎直兩個(gè)方向上均做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．由于小球剛剛釋放時(shí)初速度為0，它到達(dá)懸掛點(diǎn)正下方時(shí)水平振動(dòng)剛好經(jīng)過周期．同時(shí)，豎直方向的運(yùn)動(dòng)也相應(yīng)地完成周期，到達(dá)懸掛點(diǎn)正下方的平衡位置，距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于彈簧的原長(zhǎng)度為．

小球的運(yùn)動(dòng)也可以用方程來定量描述，在如圖乙所示的坐標(biāo)系中，小球在點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方程為

在小球運(yùn)動(dòng)的初期，彈簧的伸長(zhǎng)量與原長(zhǎng)度L相比很小，彈簧的彈力可忽略不計(jì)．另一方面，當(dāng)時(shí)，彈簧的原長(zhǎng)可以忽略，小球的運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為

和．

這兩個(gè)方程描述的周期相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，平衡位置分別為x方向的原點(diǎn)和y方向坐標(biāo)為的位置．考慮振動(dòng)的初始條件，有

，

小球位于懸掛點(diǎn)正下方時(shí)，，，與前面的結(jié)論是一致的．

當(dāng)然，小球最終還可以到達(dá)的位置。