Question

【題目】三根長(zhǎng)度均為，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC．C點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)．桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示．現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試論證松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

【答案】松鼠在導(dǎo)軌AB上的運(yùn)動(dòng)是以AB的中點(diǎn)O為平衡位置，振幅不大于，周期為2．64s的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

【解析】

先以剛性框架為研究對(duì)象。當(dāng)框架處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，作用于框架的各個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)軸C的力矩之和在任何時(shí)刻都應(yīng)等于零，設(shè)在某一時(shí)刻，松鼠離桿AB的中點(diǎn)O的距離為x，如圖乙所示，松鼠在豎直方向?qū)��?dǎo)軌的作用力等乙于松鼠受到的重力mg，m為松鼠的質(zhì)量。此重力對(duì)轉(zhuǎn)軸C的力矩的大小為mgx，方向沿順時(shí)針?lè)较�。為使框架平衡，松鼠必須另�?duì)桿AB施一水平方向的力F，且F對(duì)轉(zhuǎn)軸C的力矩應(yīng)與豎直方向的重力產(chǎn)生的力矩大小相等，方向相反．即當(dāng)表示松鼠位置的坐標(biāo)x為正時(shí)，F沿x的正方向，當(dāng)x為負(fù)時(shí)，F沿x的負(fù)方向，如圖乙所示，并滿足平衡條件

，式中l為桿的長(zhǎng)度．

所以下，即松鼠在水平方向上作用于桿AB的力要因松鼠所在的位置不同而進(jìn)行調(diào)整，以保證得到滿足．

再以松鼠為研究對(duì)象．松鼠在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB的作用力為，根據(jù)牛頓第三定律，此力即F的反作用力，即

可見(jiàn)，松鼠在水平方向受到的作用力作用下的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是以O點(diǎn)為平衡位置的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的周期為

，式中，

代入數(shù)據(jù)得．

當(dāng)松鼠運(yùn)動(dòng)到桿AB的兩端時(shí)，它應(yīng)反向運(yùn)動(dòng)，按簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅應(yīng)小于或等于．（振幅等于與把松鼠視作質(zhì)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)）

由以上論證可知：松鼠在導(dǎo)軌AB上的運(yùn)動(dòng)是以AB的中點(diǎn)O為平衡位置，振幅不大于，周期為2．64s的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。