Question

【題目】質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)球位于傾角為的斜面底端.開始時(shí)球的中心速度為零，球相對過中心且與斜面平行的水平軸以角速度旋轉(zhuǎn)，如圖甲所示，已知球與斜面間的摩擦因數(shù)，球在摩擦力作用下會(huì)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，試求球能上升的最大高度.

Answer 1

【答案】

【解析】

分兩階段討論小球沿斜面的爬高.

第一階段，從開始到小球在斜面上剛達(dá)到純滾動(dòng)狀態(tài).

此階段斜面摩擦力斜向上，是動(dòng)摩擦力，如圖乙所示.參照圖示參量，可列方程：

，，

，，

，，.

解得

，

，

，.

剛達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)，有.

該時(shí)刻與球心速度分別為

，

.

此階段小球沿斜面爬升路程為

.

第二階段，從剛進(jìn)入純滾動(dòng)狀態(tài)到小球中心沿斜面向上速度降為零.這一過程中，斜面對小球若無摩擦力，或有向下的靜摩擦力或滑動(dòng)摩擦力，都會(huì)減小，或不變，或增大，球與斜面接觸點(diǎn)相對斜面便會(huì)向下滑動(dòng)，又應(yīng)受向上滑動(dòng)摩擦力，有矛盾，不可取；這一過程中，斜面若對小球仍有向上滑動(dòng)摩擦力，則如第一階段，繼續(xù)增大，繼續(xù)減小，小球與斜面接觸點(diǎn)向上滑動(dòng)，應(yīng)受向下的滑動(dòng)摩擦力，仍有矛盾，也不可取.

綜上所述，此過程中斜面對小球必定有向上的靜摩擦力，此力一方面使繼續(xù)減小，同時(shí)與重力分力聯(lián)合使也減小，兩者配合，保證小球與斜面接觸點(diǎn)速度為零.可見，第二階段實(shí)為小球純滾動(dòng)減速階段，直到、均降到零為止.

方向如圖丙所示，可列方程組：

，

，

，，

解得

.

同時(shí)可解得

.

即小于滑動(dòng)摩擦力，可見，這一過程的摩擦力確實(shí)為靜摩擦力.小球球心速度降為零前，又沿斜面爬升路程為

.

最后，可得小球爬升的高度為

.

本題是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用相結(jié)合的典型試題.

在這類模型中，對象的受力不再是共點(diǎn)力，一方面質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律；另一方面其轉(zhuǎn)動(dòng)滿足轉(zhuǎn)動(dòng)定律.分析物體的受力，依據(jù)上述兩個(gè)基本規(guī)律列方程是解答此類試題的基本程序.

此外，在這類試題所涉及的過程中，往往會(huì)設(shè)置一些與轉(zhuǎn)動(dòng)速度和平動(dòng)速度相關(guān)的臨界問題，平動(dòng)加速度和角加速度關(guān)聯(lián)的問題，很多時(shí)候，這類問題中的關(guān)聯(lián)是我們解答的瓶頸，大家應(yīng)小心應(yīng)對.