Question

【題目】對于命題P：存在一個常數(shù)M，使得不等式 對任意正數(shù)a，b恒成立．
（1）試給出這個常數(shù)M的值；
（2）在（1）所得結(jié)論的條件下證明命題P；
（3）對于上述命題，某同學(xué)正確地猜想了命題Q：“存在一個常數(shù)M，使得不等式 對任意正數(shù)a，b，c恒成立．”觀察命題P與命題Q的規(guī)律，請猜想與正數(shù)a，b，c，d相關(guān)的命題．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，由于 對任意正數(shù)a，b恒成立，

令a=b得： ，

故 ；

（2）解：要證明 ，

先證明 ．

∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），

即證a2+b2≥2ab即證（a﹣b）2≥0，這顯然成立．

∴ ．

再證明 ．

∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），

即證a2+b2≥2ab即證（a﹣b）2≥0，這顯然成立．

∴ ；

（3）解：猜想結(jié)論：存在一個常數(shù)M，使得不等式 對任意正數(shù)a，b，c，d恒成立．
【解析】（1）根據(jù)題意，利用特殊值法，令a=b可得， ，分析即可得M的值；（2）由分析法的思路：先證明 ，再類比可以證明 ，綜合即可得證明；（3）利用類比推理的思路，分析可得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用不等式的證明的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．