Question

1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C₆₀有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家。C₆₀分子是形如球狀的多面體，如右圖，該結(jié)構(gòu)的建立基于以下考慮：C₆₀分子中每個(gè)碳原子只跟相鄰的3個(gè)碳原子形成化學(xué)鍵；C₆₀分子只含有五邊形和六邊形；碳與碳之間既有單鍵又有雙鍵，每個(gè)碳原子仍然滿足四個(gè)價(jià)鍵飽和；多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱邊數(shù)的關(guān)系，遵循歐拉定理：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱邊數(shù)=2。
請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
(1)一個(gè)C₆₀分子中有多少個(gè)五邊形和多少個(gè)六邊形？
(2)一個(gè)C₆₀分子中有多少個(gè)C=C？
(3)已知C₇₀分子的結(jié)構(gòu)模型也遵循C₆₀的那些規(guī)律，請(qǐng)確定C₇₀分子結(jié)構(gòu)中上述幾項(xiàng)參數(shù)。

Answer 1

(1)一個(gè)C₆₀分子中有12個(gè)五邊形和20個(gè)六邊形。
(2)一個(gè)C₆₀分子中有30個(gè)C=C。
(3)C₇₀分子結(jié)構(gòu)中的五邊形和六邊形的個(gè)數(shù)分別為12、25，C—C單鍵數(shù)和C=C雙鍵數(shù)分別為70、35。

(1)設(shè)C₆₀分子中含有個(gè)五邊形和個(gè)六邊形。?
先求歐拉定理中棱邊數(shù)：每個(gè)頂點(diǎn)伸出三條棱，而每條棱又總是由兩個(gè)頂點(diǎn)共有，所以，每個(gè)頂點(diǎn)單獨(dú)伸出的棱有3×1/2=1.5條，60個(gè)頂點(diǎn)共伸出的棱為60×1.5=90條。至此，依據(jù)歐拉定理可寫(xiě)出：�、�
為了求出和，還要建立一個(gè)方程式。因?yàn)槲暹呅魏土�邊形�?gòu)成多面體時(shí)是共用棱邊和頂點(diǎn)的，所以，還可以根據(jù)棱邊數(shù)守恒和頂點(diǎn)數(shù)守恒寫(xiě)出兩個(gè)方程式。
棱邊數(shù)守恒：每條棱是由兩個(gè)多面體共用的，所以，一個(gè)五邊形單獨(dú)占有的棱邊數(shù)為5/2=2.5條，一個(gè)六邊形單獨(dú)占有的棱邊數(shù)為6/2=3條，所以，�、�
至此聯(lián)立①②可以解得：=12，=20。
(2)首先要明確一個(gè)概念：在圖中頂點(diǎn)間形成的棱都以單線標(biāo)出，但有的是表示單鍵，有的是表示雙鍵。從空間結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，每個(gè)碳原子連接三條棱，而從化學(xué)價(jià)鍵來(lái)說(shuō)，每個(gè)碳原子連接四條鍵線。(一個(gè)雙鍵也只是一個(gè)鍵，可以說(shuō)有兩條鍵線但不能說(shuō)是兩個(gè)鍵)。設(shè)一個(gè)C₆₀分子中含的C—C單鍵數(shù)和C=C雙鍵數(shù)分別為，則根據(jù)棱邊守恒有：�、�
再利用鍵線守恒列一個(gè)方程式。每個(gè)原子連接四條鍵線而每條鍵線被兩個(gè)原子所共有，所以，每個(gè)原子單獨(dú)占有的鍵線數(shù)為4/2=2，所以，60個(gè)碳原子共有鍵線120條：�、�
聯(lián)立④⑤解得：=60， =30。即C₆₀中含的雙鍵數(shù)為30。
(3)設(shè)C₇₀分子結(jié)構(gòu)中的五邊形和六邊形的個(gè)數(shù)分別為，設(shè)C—C單鍵數(shù)和C=C雙鍵數(shù)分別為，則一個(gè)C₇₀分子中的棱邊總數(shù)為70×1.5=105；依據(jù)歐拉定理有：�、蓿灰罁�(jù)頂點(diǎn)數(shù)守恒有：�、�；聯(lián)立⑥⑦得：=12,=25。?
根據(jù)棱邊守恒又寫(xiě)出：=105�、�；根據(jù)鍵線守恒有：=70×2=140　⑨；聯(lián)立⑧⑨得：=70，=35。即C₇₀中含的雙鍵數(shù)為35。