已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都是13，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn)，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8．

(1)求證：MN∥平面PBC；

(2)求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值．

 

答案：
解析：

(1)證明：如圖，連結(jié)AN并延長交BC于E，連結(jié)PE，∵AD∥BC，

∴△AND∽△BNE，

∴EN∶AN=BN∶ND．

又BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN∶PM∶MA．

∴MN∥PE．

又PE平面PBC，∴MN∥平面PBc．

(2)解：由(1)知MN∥PE，

∴PE與平面ABCD所成的角即MN與平面AC所成的角．

設(shè)底面中心為O，連結(jié)PO，則PO⊥面AC，連結(jié)OE，則∠PEO為PE與底面AC所成角，

PO==．

∵BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=AD=．

又在△PBE中，由余弦定理得PE=，

∴在Rt△POE中，sinPEO==．

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正四棱錐P-ABCD，PA=2，AB=
2
，M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BM所成角為
 
．精英家教網(wǎng)

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精英家教網(wǎng)已知正四棱錐P-ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．
（1）用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；
（2）當(dāng)V取最大值時(shí)，求異面直線AB和PD所成角的大�。�
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知正四棱錐P-ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．
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已知正四棱錐P-ABCD，PA=2，AB=，M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BM所成角為    ．

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