Question

已知x+y=1，那么2x²+3y²的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：法一：首先把x+y=1寫(xiě)成y=1-x，然后把y=1-x代入2x²+3y²中，在定義域的范圍內(nèi)求出函數(shù)的最值．
法二：欲求2x²+3y²的最小值，根據(jù)它與條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮利用柯西不等式解決．
解答：解：法一：x+y=1，
∴y=1-x，
∴令u=2x²+3y²=5x²-6x+3=5，
∴當(dāng)x=時(shí)函數(shù)u有最小值，
u最小值=．
法二：因?yàn)閤+y=1，
所以利用柯西不等式得
（2x²+3y²）[（）²+（）²]≥（x+y）²，
即（2x²+3y²）≥1，
即2x²+3y²≥，
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)，
即2x²+3y²的最小值為．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的最值的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是把y用x表示出來(lái)，代入式子中，求出函數(shù)的最值，本題也可以利用柯西不等式求最值，關(guān)鍵是利用：（2x²+3y²）[（）²+（）²]≥（x+y）²．