Question

6．如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F(xiàn)分別為BC，PE的中點(diǎn)，AF⊥平面PED．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求直線BF與平面AFD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，由AF⊥平面PED得DE⊥AF，故而DE⊥平面PAE，于是DE⊥PA，結(jié)合PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD；
（2）以E為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面ADF的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{n}$＞|為直線BF與平面AFD所成角的正弦值．

解答 解：（1）連接AE，
∵AF⊥平面PED，ED?平面PED，
∴AF⊥ED，
在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，
∴AE=2，$ED=2\sqrt{3}$，
∴AE²+ED²=AD²，∴AE⊥ED，
又∵AF∩AE=A，AF?平面PAE，PA?平面PAE，
∴ED⊥平面PAE，∵PA?平面PAE，
∴ED⊥PA，
又PA⊥AD，AD∩ED=D，AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EA，ED為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，2，0），$D（{2\sqrt{3}，0，0}）$，$B（{-\sqrt{3}，1，0}）$，
∵AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，
又F為PE中點(diǎn)，∴PA=AE=2，
∴P（0，2，2），F(xiàn)（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AF}=（{0，-1，1}）$，$\overrightarrow{AD}=（{2\sqrt{3}，-2，0}）$，$\overrightarrow{BF}=（{\sqrt{3}，0，1}）$，
設(shè)平面AFD的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
由$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0$得，$\left\{\begin{array}{l}-y+z=0\\ 2\sqrt{3}x-2y=0\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow n=（{1，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．
設(shè)直線BF與平面AFD所成的角為θ，則：$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{BF}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{BF}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
即直線BF與平面AFD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．