Question

14、已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），且x∈[-1，1]時，f（x）=|x|，若函數(shù)y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零點個數(shù)是3，則a的范圍為

（3，5）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，再把函數(shù)的零點轉化為兩函數(shù)圖象的交點，利用圖象直接得結論．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，
又x∈[-1，1]時，f（x）=|x|，
根據(jù)函數(shù)的周期性畫出圖形，如圖，
再在同一坐標系中畫出函數(shù)y=log_ax，的簡圖，
將函數(shù)y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零點個數(shù)問題轉化為圖象的交點問題，
當0＜a＜1時，兩個函數(shù)圖象無交點，因此不符合題意；
當a＞1時，且函數(shù)y=log_ax圖象過點（3，1）時恰有二個交點，此時，a=3；
當函數(shù)y=log_ax圖象過點A（5，1）時恰有三個交點，此時，a=5
若函數(shù)y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零點個數(shù)是3
∴a的取值范圍為（3，5）
故答案為（3，5）

點評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用、利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍．是道中檔題．