Question

3．己知函數(shù)f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數(shù)h（x）=min﹛（f（x），g（x）} （x＞0），則當-$\frac{5}{4}$＜a＜-$\frac{3}{4}$時，h（x）的零點個數(shù)有（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 分類討論，從而分別確定在各段上的零點的個數(shù)，從而確定總零點的個數(shù)即可．

解答 解：①當x＞1時，g（x）=-lnx＜0，
故函數(shù)h（x）=min﹛（f（x），g（x）} 在（1，+∞）上沒有零點；
②當x=1時，g（1）=-ln1=0，f（1）=1+a+$\frac{1}{4}$＞0，
故h（1）=0；
故1是函數(shù)h（x）的一個零點，
③當0＜x＜1時，g（x）=-lnx＞0，
f′（x）=3x²+a=（$\sqrt{3}x$-$\sqrt{-a}$）（$\sqrt{3}$x+$\sqrt{-a}$），
故f（x）在x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$時有最小值，
而f（0）=$\frac{1}{4}$，f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）=$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{-a}{3}}$+$\frac{1}{4}$＜0，f（1）=1+a+$\frac{1}{4}$＞0，
故f（x）在（0，1）上有兩個零點，
故h（x）的零點個數(shù)有3個，
故選D．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用．