Question

【題目】對(duì)于函數(shù)和，若存在常數(shù)，對(duì)于任意，不等式都成立，則稱(chēng)直線是函數(shù)的分界線. 已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底， 為常數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)，試探究函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】【試題分析】（１）先對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再運(yùn)用分類(lèi)整合思想分類(lèi)探求；（２）依據(jù)題設(shè)條件先假設(shè)分界線的存在，然后再建立不等式運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行分析求解：

(1)

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， 在上，所以單調(diào)遞減； 在上，所以單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)， 在上，所以單調(diào)遞增； 在上，所以單調(diào)遞減.

(2)假設(shè)存在直線，使不等式

當(dāng)時(shí)，由于，所以

所以， 恒成立，所以恒成立.

令，解得，所以只需不等式恒成立

設(shè)，則

在上單調(diào)遞增，且

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞增.

，所以不等式恒成立

綜上所述，函數(shù)與函數(shù)存在分界線，其分界線方程為