Question

9．已知F是拋物線y²=2x的焦點，A，B是拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，若直線AB的斜率為3，則線段AB的中點P的坐標為（　　）

• A． （1，$\frac{2}{3}$）
• B． （1，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出A，B的中點橫坐標的和，可得線段AB的中點橫坐標，利用點差法，結(jié)合直線AB的斜率為3，可得線段AB的中點縱坐標，即可求出線段AB的中點P的坐標．

解答 解：∵F是拋物線y²=2x的焦點，
∴F（$\frac{1}{2}$，0），準線方程x=-$\frac{1}{2}$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=3，
∴x₁+x₂=2，
∴線段AB的中點橫坐標為1，
∵y²=2x，
∴y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2（x₁-x₂）
∵直線AB的斜率為3，
∴y₁+y₂=$\frac{2}{3}$
∴線段AB的中點縱坐標為$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，解題的關鍵是利用拋物線的定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離．