如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD =12 BC. 點E、F分別是棱PB、邊CD的中點.(1)求證:AB⊥面PAD; (2)求證:EF∥面PAD
(1)要證明線面垂直,關(guān)鍵是要通過線線垂直的證明,結(jié)合判定定理來得到,關(guān)鍵點 一步是AD⊥AB.
(2)要證明線面平行,關(guān)鍵是要通過線線平行的證明,結(jié)合判定定理來得到,通過做適當?shù)妮o助線,結(jié)合三角形的中位線平移,得到EF∥DQ.
解析試題分析:證明:(1)因為PD⊥面ABCD,
所以PD⊥AB. 2分
在平面ABCD中,D作DM//AB,則由AB=12得
DM=12.又BC=10,AD=BC,則AD=5,從而CM=5.
于是在△CDM中,CD=13,DM=12,CM=5,則
由及勾股定理逆定理得DM⊥BC .
又DM//AB,BC//AD,所以AD⊥AB.
又PD∩AD=D,所以AB⊥面PAD. 6分
(2)[證法一] 取AB的中點N,連結(jié)EN、FN.
因為點E是棱PB的中點,所以在△ABP中,EN//PA.
又PAÌ面PAD,所以EN//面PAD. 8分
因為點F分別是邊CD的中點,所以在梯形ABCD中,FN//AD.
又ADÌ面PAD,所以FN//面PAD. 10分
又EN∩FN=N,PA∩DA=A,所以面EFN//面PAD. 12分
又EFÌ面EFN,則EF//面PAD. 14分
[證法二] 延長CD,BA交于點G.
連接PG,EG,EG與PA交于點Q.
由題設(shè)AD∥BC,且AD= BC,所以CD=DG,BA
=AG,即點A為BG的中點.
又因為點E為棱PB的中點,所以EA為△BPG的中位線,即EA∥PG,且EA:PG=1:2,故有EA:PG=EQ:QG=1:2. 10分
又F是邊CD的中點,并由CD=DG,則有FD:DG
=1:2. 12分
在△GFE中,由于EQ:QG=1:2,FD:DG=1:2,所以EF∥DQ.
又EFË面PAD,而DQÌ面PAD,所以EF∥面PAD. 14分
考點:空間中線面位置關(guān)系
點評:解決該試題的關(guān)鍵是熟練的結(jié)合線面平行和垂直的判定定理,找到線線的平行和垂直關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
求證:(1)PC⊥BC;
(2)求點A到平面PBC的距離。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,且,,側(cè)面底面. 若.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)側(cè)棱上是否存在點,使得平面?若存在,指出點 的位置并證明,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=
(1)求證:平面EAB⊥平面ABCD
(2)求二面角A-EC-D的余弦值
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi),且平面ABCD ⊥平面DCEF,M,N分別為AB,DF的中點。
(1)求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值;
(2)求異面直線ME與BN所成角的余弦值。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐P -ABC中,點P在平面ABC上的射影D是AC的中點.BC ="2AC=8,AB" =
(I )證明:平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com