Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，函數(shù)g（x）=|x+l|，其中a為實數(shù)．
（I）A={x|f（x）≤2}，B={x|g（x）+g（x-l）≤5}，且A是B的子集，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意的x∈R，不等式f（x）+g（x）＞2a+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由|x-a|≤2，解出可得集合A={x|a-2≤x≤a+2}．由g（x）+g（x-l）≤5，可得|x+1|+|x|≤5，對x分類討論，去掉絕對值符號利用A是B的子集即可得出．
（2）利用f（x）+g（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|即可得出．

解答 解：（1）由|x-a|≤2，解得a-2≤x≤a+2．
∴A={x|a-2≤x≤a+2}，…（1分）
∵g（x）+g（x-l）≤5，∴|x+1|+|x|≤5，
當(dāng)x≥0時，化為2x+1≤5，解得x≤2，∴0≤x≤2．
當(dāng)-1≤x＜0時，化為x+1-x≤5，化為0≤4，恒成立，∴-1≤x＜0．
當(dāng)x＜-1時，化為-2x-1≤5，解得x≥-3，∴-3≤x＜0．
∴B={x|-3≤x≤2}…（3分）
∵A是B的子集，∴$\left\{{\begin{array}{l}{a-2≥-3}\\{a+2≤2}\end{array}}\right.$，∴-1≤a≤0…（5分）
（2）∵f（x）+g（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|…（7分）
當(dāng)且僅當(dāng)（x-a）（x+1）≤0時等號成立，…（8分）
∴|a+1|＞2a+1，解得a＜0…（10分）

點評 本題考查了絕對值不等式的解法、分類討論方法、集合的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．