Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，
（1）令a=1，求函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程；
（2）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求在點x=2處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上大于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．

解答：解：（1）與由f(x)=x2+

2

x

+alnx，得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

切線的斜率k=f'（2）=4切點坐標(biāo)（2，5+ln2）
所求切線方程y-（5+ln2）=4（x-2）（5分）
（2）若函數(shù)為[1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，
則f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
令φ(x)=

2

x

-2x2，上述問題等價于a≥φ（x）_max
而φ(x)=

2

x

-2x2為在[1，+∞）上的減函數(shù)，
則φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0為所求（12分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．