Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x+alnx，a∈R$．
（Ⅰ）若a=-2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當$0＜a＜\frac{2}{9}$，函數(shù)f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}＞-\frac{5}{12}-\frac{1}{3}ln3$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導函數(shù)，切線斜率k=f′（1），利用切線的定義，即可求出切線方程；
（Ⅱ）由函數(shù)由極值，利用韋達定理求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=a}\end{array}\right.$，化簡$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$，構造輔助函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調性求得最值，即可證明

解答 解：（Ⅰ）若a=2，則f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-2lnx$，導數(shù)f′（x）=x-1-$\frac{2}{x}$，
又f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=-2，
即有曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+$\frac{1}{2}$=-2（x-1），
即為4x+2y-3=0為所求．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）有兩個極值點，則f′（x）=0，在x＞0有兩個不等的實根，
則x²-x+a=0有兩個不相等的實根x₁，x₂，
則△=1-4a＞0時，即a＜$\frac{1}{4}$，且x₁+x₂=1，x₁x₂=a，
由0＜a＜$\frac{2}{9}$，則0＜x₁（1-x₁）＜$\frac{2}{9}$ 解得：x₁∈（0，$\frac{1}{3}$），
則$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}=\frac{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}+aln{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}+{x}_{1}ln{x}_{1}$，
由x∈（0，$\frac{1}{3}$），令g（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-x}{1-x}+xlnx$，
g′（x）=-$\frac{1}{2（x-1）^{2}}-\frac{1}{2}+1+lnx$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（x-1）^{2}}+lnx$，
∵x$∈（0，\frac{1}{3}）$，∴l(xiāng)nx＜0，2（x-1）²＜2，
∴g′（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（x-1）^{2}}+lnx$＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上單調遞減，g（x）$＞g（\frac{1}{3}）$=-$\frac{5}{12}$+$\frac{1}{3}ln\frac{1}{3}$=-$\frac{5}{12}-\frac{1}{3}ln3$，
∴$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}＞-\frac{5}{12}-\frac{1}{3}ln3$．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義及綜合應用，考查函數(shù)單調性及最值與導數(shù)的關系，考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)恒成立，考查轉化思想，屬于中檔題．