Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象與軸相切？若存在，求滿足條件的的取值范圍，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍；

（2）函數(shù)的圖象與軸相切，且存在的極值等于0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出答案．

（1）在上單調(diào)遞增，

∴，在上恒成立，

即，

易知在上為增函數(shù)，

∴，

∴；

（2）函數(shù)，

設(shè)，

∴

，

令，解得或，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，解得（舍去），

②當(dāng)時(shí)，，即極值點(diǎn)為或，

∵函數(shù)的圖象與軸相切，

∴或，

當(dāng)時(shí)，，解得，

當(dāng)時(shí)，可得，

設(shè)，則，

則，

即，

設(shè)，

∴，

再令

∴，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∵，

∴存在，使得，

即，即，

綜上所述存在實(shí)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù)，得使得函數(shù)的圖象與軸相切．