Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次.

方式二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

（1）現(xiàn)有份血液樣本，其中只有份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.

（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次為.

（i）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）設(shè)恰好經(jīng)過次檢驗?zāi)馨殃栃詷颖救�部檢驗出來為事件，利用古典概型、排列組合能求出恰好經(jīng)過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）（i）由已知得，的所有可能取值為、，求出和，從而可求得，由，能求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）由，可得出，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)可求得的最大值.

（1）設(shè)恰好經(jīng)過次檢驗?zāi)馨殃栃詷颖救�部檢驗出來為事件，則，

所以，恰好經(jīng)過次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為；

（2）（i）由已知得，的所有可能取值為、，

，，

，

由，得，化簡得；

（ii）由題意知，則，，即，，

構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

， ，

所以的最大值為.