Question

已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)， 為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：(1)利用待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程為，然后利用題目條件建立方程，解方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合點(diǎn)在圓外為銳角，即，建立不等式求直線斜率的取值范圍即可.

試題解析：（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為

由

∵ 橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，解得

∴ 橢圓的方程為

（2）聯(lián)立方程組，消去整理得

∵ 直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，

∴ ，解得 ①

∵ 原點(diǎn)在以為直徑的圓外，∴為銳角，即．

而、分別在、上且異于點(diǎn)，即

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則

解得 ， ②

綜合①②可知：

考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（3）韋達(dá)定理.