Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=-3x+4sin

x

2

cos

x

2

，如果f（1-a）+f（1-a²）＞0，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,二倍角的正弦

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運用二倍角的正弦公式化簡f（x），再由奇偶性的定義判斷f（x）為奇函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以f（1-a）+f（1-a²）＞0?f（1-a）＞-f（1-a²），由奇函數(shù)和單調(diào)遞減，進行求解即可．

解答： 解：f（x）=-3x+4sin

x

2

cos

x

2

，x∈（-1，1）
則f（x）=-3x+2sinx，
則有f（-x）=3x+2sin（-x）=3x-2sinx=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，
∴f（1-a）+f（1-a²）＞0?f（1-a）＞-f（1-a²）=f（a²-1），
又f′（x）=-3+2cosx＜0，
∴f（x）為減函數(shù)，
∴-1＜1-a＜a²-1＜1，
解得：a＜2且a＞1或x＜-2且-

2

＜a＜

2

，
解得，1＜a＜

2

．
故答案為：（1，

2

）．

點評：此題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性解不等式，還考查了運算能力及集合的交集．