Question

已知數(shù)列滿足（為常數(shù)，）

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）當(dāng)時(shí)，求的值；

（3）問：使恒成立的常數(shù)是否存在？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1） （2） （3）存在常數(shù),使恒成立．

【解析】

試題分析：假設(shè)題型中,先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)下根據(jù)題中的已知條件去求值或證明,如果最后可得到數(shù)值或證明,則說明存在,否則不存在;分類討論．

（1）當(dāng)時(shí),根據(jù)已知條件可判斷出其符合等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式,所以知該數(shù)列是等差數(shù)列,此時(shí)根據(jù)題中所給的該數(shù)列的前兩項(xiàng),可求出公差,進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出通項(xiàng)．

（2）該題只是給出了數(shù)列的前兩項(xiàng)和一個(gè)遞推公式,而此時(shí)如果求數(shù)列的通項(xiàng)會(huì)相當(dāng)?shù)姆爆?困難．觀察題目會(huì)發(fā)現(xiàn),要求的是當(dāng)時(shí)的第項(xiàng),項(xiàng)數(shù)很大,所以猜想該數(shù)列的各項(xiàng)之間必然有一定的規(guī)律,故不妨列出數(shù)列的若干項(xiàng)觀察規(guī)律,會(huì)發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是一個(gè)周期為6的數(shù)列．有了初步判斷之后,可以根據(jù),找到,最終得到,從而證明開始的猜想,然后根據(jù),可以得出結(jié)論,進(jìn)而求出．

（3）首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)下根據(jù)題中的已知條件去求,如果最后可得到常數(shù),則說明存在,否則不存在．根據(jù)①,可得②;根據(jù)及,可得③; 將③帶入②有④,此時(shí)①④式子含有相同的項(xiàng),所以式減④式得．分別討論

或是否成立,并最終形成結(jié)論．

（1）當(dāng)時(shí),根據(jù)題意可知成立,顯然該式符合等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式,

所以該數(shù)列是等差數(shù)列,根據(jù)題意首項(xiàng)為,公差為,

根據(jù)差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知．

（2）根據(jù)題意列出該數(shù)列的一些項(xiàng),如下:

，，，，，，

，，，，，，

,

我們發(fā)現(xiàn)該數(shù)列為一周期為6的數(shù)列．

事實(shí)上，根據(jù)題意可知,,則有①

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721110278787365/SYS201411172111241324155350_DA/SYS201411172111241324155350_DA.045.png">有②

將②帶入①化簡得③；

根據(jù)③式有，

所以說明該數(shù)列是周期為6的數(shù)列．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721110278787365/SYS201411172111241324155350_DA/SYS201411172111241324155350_DA.014.png">，所以．

（3）假設(shè)存在常數(shù)，使恒成立．

由①,可得②，

及,可得③

將③帶入②有④

①式減④式得．

所以，或．

當(dāng)，時(shí)，數(shù)列｛｝為常數(shù)數(shù)列，顯然不滿足題意．

由得，于是，

即對(duì)于，都有，

所以，從而．

所以存在常數(shù)，使恒成立．

考點(diǎn)：等差數(shù)列的判斷;通過列舉法猜想數(shù)列的規(guī)律,并在猜想的基礎(chǔ)上證明;