Question

19．已知集合M={x∈R，|px²-2x+3=0，x∈R}．
（1）若M中只有一個元素，求實數p的值，并求出相應的集合M；
（2）若M中最多有一個元素，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當p=0時，解得x=$\frac{3}{2}$，符合題意，當p≠0時，只需△=0，求解即可得答案；
（2）M中最多有一個元素包括M中只有一個元素和M空集兩種情況，分類討論即可求得答案．

解答 解：（1）若M中只有一個元素，當p=0時，原方程化為-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，符合題意，
當p≠0時，只需△=4-12p=0，即p=$\frac{1}{3}$，由$\frac{1}{3}$x²-2x+3=0，解得x=3，即M={3}．
當p=0時，M={x|$x=\frac{3}{2}$}，
綜上，p=$\frac{1}{3}$時，M={3}或p=0時，M={$\frac{3}{2}$}．
（2）若M中最多有一個元素，當p=0時，解得x=$\frac{3}{2}$，符合題意，
當p≠0時，△≤0，即4-12p≤0，解得p≥$\frac{1}{3}$．
綜上，實數p的取值范圍為：{0}∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了集合的表示法，考查了一元二次方程的解的個數的判斷問題，要注意對最高次數項是否為零的討論，是中檔題．