若在邊長為1的正三角形ABC的邊BC上有n（n∈N*，n≥2）等分點(diǎn)，沿向量
BC
的方向依次為P1，P2，…，Pn，記Tn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+…+
APn-1
•
AC
，若給出四個(gè)數(shù)值：①
29
4
 ②
91
10
③
197
18
 ④
232
33
，則Tn的值不可能共有（　　）
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，
APk
•
APk+1
=1-
2k+1
2n
+
k2+k
n2
，（k=1，2，…，n-1，k∈N），再由數(shù)列的求和知識即可得到Tn，再對選項(xiàng)加以判斷，解方程即可得到．
解答： 解：根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算，得
APk
•
APk+1
=（
AB
+k
BP1
）•[
AB
+(k+1)
BP1
]
=
AB
2+（2k+1）
AB
•
BP1
+k（k+1）
BP1
2
=1-
2k+1
2n
+
k2+k
n2
，（k=1，2，…，n-1，k∈N），
∴Tn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+…+
APn-1
•
AC

=
AB
•
AP1
+（n-1）-
3+5+7+…+(2n-1)
2n
+
(1+1)+(22+2)+…+(n2-n)
n2

=1-
1
2n
+n-1-
(n-1)(n+1)
2n
+
n(n-1)
2
+
n(n-1)(2n-1)
6
n2

=
5n2-2
6n
，
∴Tn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+…+
APn-1
•
AC
=
5n2-2
6n
，
令
5n2-2
6n
=
29
4
，得n=
87±
7729
20
∉N，
令
5n2-2
6n
=
91
10
，得n=
273±
74729
50
∉N，
令
5n2-2
6n
=
197
18
，得n=
197±
38809
30
∉N，
令
5n2-2
6n
=
232
33
，得n=
464±
4642+4840
110
∉N，
∴Tn的值不可能共有4個(gè)，
故選：D．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了平面向量的加法和減法、向量的數(shù)量積運(yùn)算等知識，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P在圓C：x2+y2-8x-6y+21=0上運(yùn)動(dòng)，求線段OP中點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）應(yīng)滿足的關(guān)系式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C1與雙曲線C2：
y2
3
-
x2
1
=1的離心率互為倒數(shù)，求此時(shí)實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F1和點(diǎn)（0，1），且原點(diǎn)到直線l的距離為
2
2
；又另一條直線m，斜率為1，與橢圓C1交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
OE
⊥
OF
，求直線m的方程；
（Ⅲ）若在直線x=
a2
a2-1
上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中點(diǎn)M
MF2
⊥
PF1
．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的
 
條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC與底面ABCD所成角的大小為
π
6
，則該四棱錐的體積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）求y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足如下條件：
（1）當(dāng)x＜-1或x＞
1
3
時(shí)，f′（x）＞0；
（2）當(dāng)-1＜x＜
1
3
時(shí)，f′（x）＜0；
（3）當(dāng)x=-1或x=
1
3
時(shí)，f′（x）=0，
試畫出函數(shù)f（x）的大致圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，則f′（
π
3
）等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）的圖象過點(diǎn)（-
8
9
，-2）
（1）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，26]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x-2）|，且有g(shù)（b+2）=g（
10
3
-b），求實(shí)數(shù)b的值．

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同步練習(xí)冊答案