Question

（理）設函數f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n），其中a_i、α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）為已知實常數，x∈R．
下列關于函數f（x）的性質判斷正確的命題的序號是

①②③④

．
①若f(0)=f(

π

2

)=0，則f（x）=0對任意實數x恒成立；
②若f（0）=0，則函數f（x）為奇函數；
③若f(

π

2

)=0，則函數f（x）為偶函數；
④當f2(0)+f2(

π

2

)≠0時，若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer 1

分析：對于②，先由f（0）=0，得出a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，要判斷函數為奇函數，只需驗證f（-x）+f（x）=0；
對于③，先由f(

π

2

)=0，得出-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，要判斷函數為偶函數，只需驗證f（-x）-f（x）=0；
對于①：由①知函數f（x）為奇函數，由②知函數為偶函數，從而f（x）=0；
對于④：當f2(0)+f2(

π

2

)≠0時，由f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），故可得結論．

解答：解：對于②：若f（0）=0，則f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）=cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，∴函數f（x）為奇函數；
對于③：若f(

π

2

)=0，則f（

π

2

）=a₁•sin（

π

2

+α₁）+a₂•sin（

π

2

+α₂）+…+a_n•sin（

π

2

+α_n）=-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）=sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，∴函數f（x）為偶函數；
對于①：若f(0)=f(

π

2

)=0，則函數f（x）為奇函數，也為偶函數，∴f（x）=0對任意實數x恒成立；
對于④：當f2(0)+f2(

π

2

)≠0時，若f（x₁）=f（x₂）=0，則f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+
（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），∴可得x₁-x₂=kπ（k∈Z）．
故答案為：①②③④．

點評：本題的考點是數列與三角函數的綜合，主要考查三角函數的化簡，考查新定義三角函數的性質，解題的關鍵是一一判斷．