Question

20．在四面體ABCD中，已知AD⊥BC，BC=2，AD=6，且$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=2，則四面體ABCD的體積的最大值為$2\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，作BE⊥AD于E，連接CE，取BC中點F，求出BE的最大值，得到EF的最大值，從而求得四面體ABCD的體積的最大值．

解答 解：如圖，
在△ADB中，由題知，AD=6，AB=2BD，
在平面ADB內(nèi)，若以AD所在直線為x軸，以AD的中垂線為y軸建系，
則A（-3，0），D（3，0），設(shè)B（x，y），
由AB=2BD，得$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得：（x-5）²+y²=16，
∴B在以（5，0）為圓心，以4為半徑的圓上，
同理可得，C的軌跡，
過B作BE⊥AD，交于E，連接CE，
∵AD⊥BC，BE⊥AD，且BC∩BE=B，
∴AD⊥平面BEC，則AD⊥CE，
由對稱性可知，BE=EC，
取BC中點F，連接EF，則EF⊥BC，又BC=2，
∴當B的縱坐標取最大值4時，EF有最大值為$\sqrt{{4}^{2}-1}=\sqrt{15}$，
∴四面體ABCD的體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}×6=2\sqrt{15}$．
故答案為：$2\sqrt{15}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力，屬中檔題．