Question

20．今有點A（-4，3）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）上，過點A的直線l與雙曲線相切，且與雙曲線兩漸近線圍成的三角形面積為2$\sqrt{3}$，則直線l的方程為（　�。�

• A． x+y+1=0
• B． 2x+y+5=0
• C． 2x+3y+1=0
• D． x+3y-5=0

Answer 1

分析 對雙曲線的方程兩邊對x求導，可得A點處切線的斜率和切線方程，聯(lián)立漸近線方程，可得交點M，N的坐標，求得點O到切線的距離，以及兩點MN的距離，運用三角形的面積公式，化簡整理，結合點A在雙曲線上，可得ab=2$\sqrt{3}$，
解方程可得a，b，進而得到所求直線l的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，對x求導，可得
$\frac{2x}{{a}^{2}}$-$\frac{2yy′}{^{2}}$=0，
點A的直線l的斜率為-$\frac{4^{2}}{3{a}^{2}}$，
可得切線的方程為y=-$\frac{4^{2}}{3{a}^{2}}$x-$\frac{^{2}}{3}$，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
聯(lián)立切線的方程可得，交點為M（-$\frac{{a}^{2}b}{3a+4b}$，-$\frac{a^{2}}{3a+4b}$），N（$\frac{{a}^{2}b}{3a-4b}$，-$\frac{a^{2}}{3a-4b}$），
可得|MN|=$\frac{2ab\sqrt{9{a}^{4}+16^{4}}}{|9{a}^{2}-16^{2}|}$，
點O到切線的距離為d=$\frac{{a}^{2}^{2}}{\sqrt{9{a}^{4}+16^{4}}}$，
由題意可得圍成三角形的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}^{2}}{\sqrt{9{a}^{4}+16^{4}}}$•$\frac{2ab\sqrt{9{a}^{4}+16^{4}}}{|9{a}^{2}-16^{2}|}$=2$\sqrt{3}$，
即為$\frac{{a}^{3}^{3}}{|9{a}^{2}-16^{2}|}$=2$\sqrt{3}$，
由點A（-4，3）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，可得$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{^{2}}$=1，
即為9a²-16b²=-a²b²，
即有ab=2$\sqrt{3}$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
則直線l的方程為y=-x-1，
即為x+y+1=0．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程的運用，直線與雙曲線相切，聯(lián)立直線方程求交點，以及點到直線的距離公式，考查運算化簡能力，屬于中檔題．