Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù) ，．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（3,）處的切線方程；
（2）當(dāng)函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，，
∴f(3)=1，   ∵f'(x)=x²-2x  ………3分 
曲線在點(diǎn)(3，1)處的切線的斜率k=f'(3)="3 " ………4分
∴所求的切線方程為y-1=3(x-3)，即y="3x-8 " ………6分
(2)∵f'(x)=x²-2(2a+1)x+3a(a+2)="(x-3a)(x-a-2) " ∴x₁=3a，x₂=a+2
①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，3a=a+2，解得a=1，這時(shí)x₁=x₂=3，函數(shù)y=f'(x)在(0，4)上
有唯一的零點(diǎn)，故a=1為所求；………7分
②當(dāng)x₁>x₂時(shí)，即，這時(shí)x₁>x₂>3，
又函數(shù)y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零點(diǎn)，
  ..........10分
③當(dāng)x₁<x₂時(shí)，即a<1，這時(shí)x₁<x₂<3
又函數(shù)y=f'(x)在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴ ………13分
綜上得當(dāng)函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，
或或. ………14分

略