Question

8．若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y使得等式3x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{3}{e}$]
• C． [$\frac{3}{e}$，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{3}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意得-$\frac{3}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln $\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}$＞0），令m=（t-2e）lnt，（t＞0），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得-$\frac{3}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}$＞0），
令m=（t-2e）lnt，（t＞0），
則m′=lnt+$\frac{t-2e}{t}$，m''=$\frac{1}{t}$+$\frac{2e}{{t}^{2}}$＞0，
當(dāng)x＞e時(shí)，m′＞m′（e）=0，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，m′＜m′（e）=0，
∴m≥m（e）=-e，
∴-$\frac{3}{a}$≥-e，
解得a＜0或a≥$\frac{3}{e}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[$\frac{3}{e}$，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．