Question

18．已知A是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是△F₁PF₂的重心，若$\overrightarrow{GA}$=λ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，|$\overrightarrow{GA}$|=$\frac{5}{3}$，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=8，則雙曲線的標準方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由題意，PG=2GO，GA∥PF₁，可得2OA=AF₁，求得c=3a，再由條件和雙曲線的定義，可得a，b，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：由題意，G是△F₁PF₂的重心，若$\overrightarrow{GA}$=λ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，
可得PG=2GO，GA∥PF₁，
∴2OA=AF₁，
∴2a=c-a，∴c=3a，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
|$\overrightarrow{GA}$|=$\frac{5}{3}$，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=8，
可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=3×$\frac{5}{3}$=5，
|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=8-5=3，
可得2a=|PF₁-PF₂|=|5-3|=2，
解得a=1，b=2$\sqrt{2}$，
則雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，注意運用三角形的重心的性質和雙曲線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．