Question

有下列命題：
①到定點的距離等于到定直線的距離點的軌跡為拋物線；
②設集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，則“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要條件；
③曲線

x2

2sinθ+3

+

y2

sinθ-2

=1表示雙曲線；
④直線l過雙曲線

x2

4

-

y2

2

=1的焦點截雙曲線的弦長為2的直線僅有一條．
則上述命題中真命題為

 

（填上序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：對于①，根據(jù)拋物線的定義進行判斷；
對于②利用兩集合間的包含關系轉(zhuǎn)化為充分、必要性的關系；
對于③利用雙曲線的標準方程滿足的條件判斷，即在此題方程形式下，只需前后兩個分母異號即可；
對于④先算出焦點弦的長，和2比較即可．

解答： 解：①當定點落在定直線上時，該軌跡是一條過該點且與定直線垂直的射線，故①為假；
②因為N?M，a∈M不一定推出a∈N，所以前者是后者的不充分條件，故②為假；
③因為2sinθ∈[-2，2]，所以3+2sinθ＞0，易知sinθ-2＜0，所以（2sinθ+3）（sinθ-2）＜0，故該方程表示雙曲線，故③為真；
④由題意得焦點為（±

6

，0），將x=

6

代入方程得y=±1，所以通徑長為2，故直線l垂直于實軸，因此滿足題意的直線只有1條，故④為真．
故答案為③④

點評：有關命題的考查一般以考查概念為主，題目可難可易，因此在做題時一定要在準確、深刻理解概念的基礎上作答．