Question

6．已知函數(shù)$f（x）={log_{2a}}x（a＞0，a≠\frac{1}{2}）$，
（1）若f（x₁x₂…x₂₀₁₅）=8，求f（x₁²）+f（x₂²）+…+f（x₂₀₁₅²）的值．
（2）若x∈（-1，0）時，求g（x）=f（x+1）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用對數(shù)的運算法則，計算化簡即可得到所求值；
（2）由題意可得log_2a（x+1）＞0，由x的范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）若f（x₁x₂…x₂₀₁₅）=8，即有
log_2a（x₁x₂…x₂₀₁₅）=8，即x₁x₂…x₂₀₁₅=（2a）⁸，
則f（x₁²）+f（x₂²）+…+f（x₂₀₁₅²）=log_2ax₁²+log_2ax₂²+…+log_2ax₂₀₁₅²
=log_2a（x₁x₂…x₂₀₁₅）²=log_2a（2a）¹⁶=16；
（2）g（x）=f（x+1）＞0，即為log_2a（x+1）＞0，
由x∈（-1，0），可得x+1∈（0，1），
則0＜2a＜1，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
即有a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．