Question

16．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D中，直線A₁D與平面AB₁C₁D所成的角為30度．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁D與平面AB₁C₁D所成的角的大小．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D棱長(zhǎng)為1，
則A₁（1，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），
設(shè)平面AB₁C₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
設(shè)直線A₁D與平面AB₁C₁D所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴直線A₁D與平面AB₁C₁D所成的角為30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．