Question

18．設(shè)a＞b＞0，a+b=1，若x=（$\frac{1}{a}$）^b，y=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}）}$ab，z=log${\;}_{\frac{1}}$a，則x，y，z的大小關(guān)系是（　�。�

• A． y＜x＜z
• B． y＜z＜x
• C． x＜y＜z
• D． z＜y＜x

Answer 1

分析 a＞b＞0，a+b=1，可得1＞a＞$\frac{1}{2}＞$b＞0，因此1＜$\frac{1}{a}＜\frac{1}$，$0＜ab＜\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=2+$\frac{a}+\frac{a}$＞4．再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴1＞a＞$\frac{1}{2}＞$b＞0，
∴1＜$\frac{1}{a}＜\frac{1}$，$0＜ab＜\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=2+$\frac{a}+\frac{a}$＞4．
x=（$\frac{1}{a}$）^b＞1，y=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}）}$ab＜-1，z=log${\;}_{\frac{1}}$a=-log_ba∈（-1，0），
∴x＞z＞y．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．