Question

6．已知點(diǎn)P（cosα，sinα）在直線 y=-3x上，則tan（α-$\frac{π}{4}$）=2；$\frac{1+cos2α}{sin2α}$=$-\frac{1}{3}$；sin²α+5sinα•cosα=$-\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 把P坐標(biāo)代入y=-3x，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanα的值，原式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把tanα的值代入計(jì)算即可求出tan（α-$\frac{π}{4}$）的值；將$\frac{1+cos2α}{sin2α}$利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把tanα的值代入計(jì)算即可求出值．由sin²α+5sinα•cosα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡(jiǎn)求值得解．

解答 解：∵點(diǎn)P（cosα，sinα）在直線y=-3x上，
∴sinα=-3cosα，即tanα=-3，
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-3-1}{1-3}$=2；
∴$\frac{1+cos2α}{sin2α}$=$\frac{2co{s}^{2}α}{2sinαcosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{1}{3}$．
∴sin²α+5sinα•cosα=$\frac{si{n}^{2}α+5sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+5tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{9-15}{9+1}$=-$\frac{3}{5}$．
故答案為：2，$-\frac{1}{3}$，$-\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，任意角的三角函數(shù)定義，以及兩角的和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．