Question

18．隨著霧霾日益嚴(yán)重，很多地區(qū)都實行了“限行”政策，現(xiàn)從某地區(qū)居民中，隨機(jī)抽取了300名居民了解他們對這一政策的態(tài)度，繪成如圖所示的2×2列聯(lián)表：

	反對	支持	合計
男性	70	60
女性	50	120
合計

（1）試問有沒有99%的把握認(rèn)為對“限行”政策的態(tài)度與性別有關(guān)？
（2）用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的居民（人數(shù)很多）中隨機(jī)抽取3人，用ξ表示所選3人中反對的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（a+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d獨立性檢驗臨界表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）作出2×2列聯(lián)表，由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入k²公式計算比較即可得出結(jié)論．
（2）由題知，抽取的300名居民中有120名居民持反對態(tài)度，抽取1名居民持反對態(tài)度的概率為$\frac{120}{300}$=$\frac{2}{5}$，那么從所有的居民中抽取1名居民持反對態(tài)度的概率是$\frac{2}{5}$，又因為所取總體數(shù)量較多，抽取3名居民可以看出3次獨立重復(fù)實驗，于是ξ服從二項分布$B（3，\frac{2}{5}）$．顯然ξ的取值為0，1，2，3，且P（ξ=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（\frac{3}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3．即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）作出2×2列聯(lián)表：

	反對	支持	合計
男生	70	60	130
女生	50	120	170
合計	120	180	300

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得  K²=$\frac{300×（120×70-50×60）^{2}}{120×180×170×130}$≈18.326．
因為18.326＞10.828，故有99%的把握認(rèn)為對“限行”政策的態(tài)度與性別有關(guān)．…（6分）
（2）由題知，抽取的300名居民中有120名居民持反對態(tài)度，
抽取1名居民持反對態(tài)度的概率為$\frac{120}{300}$=$\frac{2}{5}$，
那么從所有的居民中抽取1名居民持反對態(tài)度的概率是$\frac{2}{5}$，
又因為所取總體數(shù)量較多，抽取3名居民可以看出3次獨立重復(fù)實驗，
于是ξ服從二項分布$B（3，\frac{2}{5}）$．顯然ξ的取值為0，1，2，3，且P（ξ=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（\frac{3}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3．
所以得分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗原理、二項分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．