Question

在三角形中，對任意λ都有|

AB

-λ

AC

|≥|

AB

-

AC

|，則△ABC形狀（　�。�

A．銳角三角形

B．鈍角三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形

Answer 1

分析：在三角形ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，將|

AB

-λ

AC

|≥|

AB

-

AC

|?|

AB

-λ

AC

|2≥|

AB

-

AC

|2?c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²，整理成關(guān)于λ的二次不等式恒成立問題，利用△≤0結(jié)合正弦定理可得到sin²C≥1，從而可得答案．

解答：解：在△ABC中，設(shè)A，B，C的對邊分別為a，b，c，則|

AB

|=c，|

AC

|=b，|

AB

-

AC

|=|

BC

|=a，
∵對任意λ都有|

AB

-λ

AC

|≥|

AB

-

AC

|，
∴對任意λ都有|

AB

-λ

AC

|2≥|

AB

-

AC

|2，
即c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²對任意λ恒成立，
即λ²b²-2bccosA•λ+c²-a²≥0恒成立，
∵b²＞0，
∴△=4b²c²cos²A-4b²（c²-a²）≤0，
∴c²sin²A≥a²，
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin²Csin²A≥sin²A，
∴sin²C≥1，又C為△ABC的內(nèi)角，0＜sinC≤1，
∴sinC=1．
∴三角形ABC為直角三角形．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查三角形的形狀判斷，考查向量的數(shù)量積，考查二次不等式恒成立問題，考查正弦定理，考查分析轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用、解決問題的能力，屬于難題．