Question

12．從拋物線y²=16x上各點(diǎn)向x軸作垂線，其垂線段中點(diǎn)的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)P（3，2）的直線l與軌跡E相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)出垂線段的中點(diǎn)為M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可；
（Ⅱ）利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，即可求出直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)垂線段的中點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，D（x₀，0），
因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以y₀²=16x，即4y²=16x，
所以y²=4x，所求點(diǎn)M軌跡方程為：y²=4x．              …（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，y₁+y₂=4，
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)都在拋物線E上，則代入作差可得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1   …（10分）
∴直線l的方程為：x-y-1=0                      …（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查求軌跡方程的方法，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．