Question

1．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，當(dāng)A為下頂點時，|AF|=2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線x=4與x軸交于點G，過點A作直線x=4的垂線且垂足為C，連接BC與x軸交于點D，求四邊形OADB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意知a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$；從而寫出橢圓E的方程；
（2）由題意作圖，設(shè)直線AB的方程為x-1=my，從而聯(lián)立方程化簡可得（4+3m²）y²+6my-9=0，從而可證明DF=$\frac{3}{2}$，而且化S_OADB=S_OAD+S_ODB=$\frac{1}{2}$OD|y₁-y₂|=$\frac{5}{4}$|y₁-y₂|=$\frac{5}{4}$$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$，從而求最大值．

解答 解：（1）∵當(dāng)A為下頂點時，
|AF|=2，
∴a=2，又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴c=1，b=$\sqrt{3}$；
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由題意作圖象如右圖，
設(shè)直線AB的方程為x-1=my，
聯(lián)立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，
化簡可得，
（4+3m²）y²+6my-9=0，
△=（6m）²+4×（4+3m²）×9=144（m²+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
則y₁=$\frac{-6m-12\sqrt{{m}^{2}+1}}{2（4+3{m}^{2}）}$=-$\frac{3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$，
y₂=$\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$，
x₁=-m$\frac{3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$+1=$\frac{4-6m\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$，
由三角形相似可得，
$\frac{BF}{AB}$=$\frac{DF}{AC}$，
即$\frac{\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}}{\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}-\frac{-3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}}$=$\frac{DF}{4-\frac{4-6m\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}}$
故DF=$\frac{（2\sqrt{{m}^{2}+1}-m）（12+12{m}^{2}+6m\sqrt{{m}^{2}+1}）}{4（4+3{m}^{2}）\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{3}{2}$，
故D（$\frac{5}{2}$，0）；
故OD=$\frac{5}{2}$；
故S_OADB=S_OAD+S_ODB=$\frac{1}{2}$OD|y₁-y₂|
=$\frac{5}{4}$|y₁-y₂|=$\frac{5}{4}$$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$
=15•$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}+3\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∵$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥1，
∴$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$+3$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥4，
∴15•$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}+3\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\frac{15}{4}$；
故四邊形OADB面積的最大值為$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．