Question

過橢圓的左焦點(diǎn)F作斜率為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，使得AB的中點(diǎn)M在直線上。

       （1）求k的值；

       （2）設(shè)C（-2，0），求

Answer 1

解：

（Ⅰ）由橢圓方程，a＝，b＝1，c＝1，則點(diǎn)F為(－1，0)．

直線AB方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程，得

(2k²＋1)x²＋4k²x＋2k²－2＝0．                                                                      ①

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，則

x₀＝＝－，y₀＝k(x₀＋1)＝，

由點(diǎn)M在直線x＋2y＝0上，知－2k²＋2k＝0，

∵k≠0，∴k＝1．                                                                                  …6分

（Ⅱ）將k＝1代入①式，得3x²＋4x＝0，

不妨設(shè)x₁＞x₂，則x₁＝0，x₂＝－，                                                      …8分

記α＝∠ACF，β＝∠BCF，則

tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝，

∴α＝β，

∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．                                                      …12分