Question

如圖，A，B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是|AF|與|FB|的等差中項(xiàng)，

3

是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A且垂直于x軸，若過F作直線FQ垂直于AP，并交直線l于點(diǎn)Q．證明：Q，P，B三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a-c．由2是|AF|與|FB|的等差中項(xiàng)，

3

是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng)．聯(lián)立

(a-c)+(a+c)=4 (a-c)(a+c)=( 3 )2

，及其b²=a²-c²．解得即可．（2）直線l的方程為：x=-2，直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x_P=

6-8k2

3+4k2

，y_P=k（x_P+2）．由于QF⊥AP，可得k_PF=-

1

k

．直線QF的方程為：y=-

1

k

(x-1)，把x=-2代入上述方程可得Q(-2，

3

k

)．只有證明k_PQ=k_BQ，即可得出B，P，Q三點(diǎn)共線．

解答： （1）解：F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a-c．由2是|AF|與|FB|的等差中項(xiàng)，

3

是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng)．
∴

(a-c)+(a+c)=4 (a-c)(a+c)=( 3 )2

，解得a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：直線l的方程為：x=-2，直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），
聯(lián)立

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴xA+xP=-

16k2

3+4k2

，
∴x_P=

6-8k2

3+4k2

，∴y_P=k（x_P+2）=

12k

3+4k2

，
∵QF⊥AP，∴k_PF=-

1

k

．
直線QF的方程為：y=-

1

k

(x-1)，
把x=-2代入上述方程可得y_Q=

3

k

，
∴Q(-2，

3

k

)．
∴k_PQ=

12k 3+4k2 - 3 k

6-8k2 3+4k2 +2

=-

3

4k

，k_BQ=

3 k -0

-2-2

=-

3

4k

．
∴k_PQ=k_BQ，
∴B，P，Q三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．