Question

（2009•南通二模）已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+1．
（Ⅰ）若f（x）＞0的解集是（-1，3），求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若a為整數(shù)，b=a+2，且函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由f（x）＞0的解集是（-1，3），可得方程ax²-bx+1=0的兩根是-1和3，由韋達(dá)定理可得實數(shù)a，b的值．
（II）當(dāng)a=0時，f（x）=0，x=

1

2

，不合題意，當(dāng)a≠0時，可得函數(shù)f（x）有兩個零點，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，可得f（-2）f（-1）＜0，結(jié)合a為整數(shù)，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式ax²-bx+1＞0解集是（-1，3），
故方程ax²-bx+1=0的兩根是x₁=-1，x₂=3，

1

a

=x1x2=-3，

b

a

=x1+x2=2．                                  （4分）
所以a=-

1

3

，b=-

2

3

．                                           （6分）
（Ⅱ）當(dāng)a=0時，f（x）=0，x=

1

2

，不合題意．                            （8分）
當(dāng)a≠0時，
∵b=a+2，
∴f（x）=ax²-（a+2）x+1
∵△=（a+2）²-4a＞0
函數(shù)f（x）=ax²-bx+1必有兩個零點，（9分）
又函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，故f（-2）f（-1）＜0，（11分）
即（6a+5）（2a+3）＜0，
解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，（13分）
又a∈Z，
∴a=-1．                                               （14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點的判定定理，（I）的關(guān)鍵是根據(jù)不等式式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系得到方程ax²-bx+1=0的兩根是-1和3，（II）的關(guān)鍵是得到f（-2）f（-1）＜0．