Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x，其中哪個(gè)模型能符合公司要求？

Answer 1

思路解析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，即當(dāng)x∈［10,1 000］時(shí)，能夠滿(mǎn)足y≤5，且≤25%，可以先從函數(shù)圖象得到初步的結(jié)論，再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.

解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x的圖象如圖所示：

觀(guān)察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10,1 000］上模型y=0.25x,y=1.002^x的圖象都有一部分在y=5的上方，這說(shuō)明只有按模型y=log₇x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才能符合公司要求，下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn).

對(duì)于模型y=0.25x，它在區(qū)間［10,1 000］上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x∈(20,1 000)時(shí)，y>5，因此該模型不符合要求.

對(duì)于模型y=1.002^x，利用計(jì)算器可知1.002⁸⁰⁶≈5.005，由于y=1.002^x是增函數(shù)，故當(dāng)x∈(806,1 000］時(shí)，y>5，因此，也不符合題意.

對(duì)于模型y=log₇x+1，它在區(qū)間［10,1 000］上單調(diào)遞增，且當(dāng)x=1 000時(shí)，y=log₇1 000+1≈4.55＜5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.

再計(jì)算按模型y=log₇x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否超過(guò)利潤(rùn)x的25%，即當(dāng)x∈［10,1 000］時(shí)，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)=log₇x+1-0.25x的圖象，由圖象可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈-0.316 7＜0，即log₇x+1＜0.25x.

所以當(dāng)x∈［10,1 000］時(shí)，y＜0.25x.

這說(shuō)明，按模型y=log₇x+1獎(jiǎng)勵(lì)不超過(guò)利潤(rùn)的25%.

綜上所述，模型y=log₇x+1確實(shí)符合公司要求.